Este es el tipo de ejercicio más caliente (hot) porque combina álgebra con geometría.
Enunciado: Clasifique la superficie: (z = 4x^2 + y^2 - 8x - 4y + 8)
Solución paso a paso:
Completar cuadrados:
Sustituir: [ z = 4[(x-1)^2 - 1] + [(y-2)^2 - 4] + 8 ] [ z = 4(x-1)^2 - 4 + (y-2)^2 - 4 + 8 ] [ z = 4(x-1)^2 + (y-2)^2 + 0 ] [ z = 4(x-1)^2 + (y-2)^2 ]
Identificación: Es un Paraboloide Elíptico con vértice en ((1, 2, 0)).
Conclusión hot: Completar cuadrados es la habilidad más importante para superficies cuadráticas desplazadas. El centro o vértice no siempre está en el origen.
To solve exercises efficiently, one must memorize the distinctive characteristics of the main surfaces. superficies cuadraticas ejercicios resueltos hot
Enunciado: Identificar: ( 9x^2 + 4y^2 - z^2 = 0 )
Problem: Identify the surface defined by: $$ x^2 + y^2 - z^2 + 6z = 0 $$
Solution:
Step 1: Analyze the Equation We see quadratic terms for $x, y, z$. The presence of a linear term ($6z$) suggests we need to complete the square to eliminate the linear term and find the center.
Step 2: Completing the Square Group the variable with the linear term ($z$) and leave the others aside. $$ x^2 + y^2 - (z^2 - 6z) = 0 $$
Complete the square for $z^2 - 6z$: Take half of -6 (which is -3) and square it (9). Add and subtract 9 inside the parenthesis. $$ x^2 + y^2 - (z^2 - 6z + 9 - 9) = 0 $$ $$ x^2 + y^2 - [(z-3)^2 - 9] = 0 $$ Distribute the negative sign: $$ x^2 + y^2 - (z-3)^2 + 9 = 0 $$ Subtract 9 from both sides to isolate the variables: $$ x^2 + y^2 - (z-3)^2 = -9 $$ Divide by -9 to make the right side equal to 1: $$ \fracx^2-9 + \fracy^2-9 - \frac(z-3)^2-9 = 1 $$ Wait, let's re-order to keep standard sign conventions positive where possible. Let's rewrite the line before dividing: $$ (z-3)^2 - x^2 - y^2 = 9 $$ $$ \frac(z-3)^29 - \fracx^29 - \fracy^29 = 1 $$
Step 3: Classification
Step 4: Geometric Properties
Problema: Identificar y graficar la superficie dada por la ecuación: $$4x^2 + y^2 + z^2 = 16$$
Solución:
Trazas (Cortes con planos coordenados):
Conclusión: Es un elipsoide alargado en el eje $y$ y $z$, y más corto en el eje $x$.
Esta ya está en forma canónica. No requiere completar cuadrados.
Identificación: Paraboloide hiperbólico (forma de silla de montar o Pringles). Este es el tipo de ejercicio más caliente
Trazas:
Intersección con plano (z=0): (y^2 = x^2 \rightarrow y = \pm x) (dos rectas).
¿Por qué es "hot"? Es la única superficie que tiene curvatura negativa en un punto y es frecuente en optimización (puntos de silla).
Enunciado:
[
z = 2x^2 + 3y^2 + 4x - 6y + 5
]
Enunciado:
Determine la superficie dada por:
[
x^2 + y^2 - z^2 = 1
]
Solución:
Es un hiperboloide de una hoja (coeficientes de (x^2) e (y^2) positivos, (z^2) negativo, =1).
Eje de simetría: z.
✅ Respuesta: Hiperboloide de una hoja alrededor del eje z.